Smith Sayıları

Anlatılana göre, 1982 yılında Harold Smith, Lehigh Üniversitesi matematik bölümünde öğretim üyesi ve aynı zamanda kardeşinin eşi olan Albert Wilansky’ı arar. Bir yandan telefon konuşmasına devam ederken diğer yandan da her zamanki alışkanlığı olan asal çarpanlara ayırma işlemini yapan Albert Wilansky, kendisini arayan numara olan 4937775 sayısını asal çarpanlarına ayırırken ilginç bir özelliği keşfeder. 4937775 sayısını

    \[ 4937775=3\cdot5\cdot5\cdot65837 \]

biçiminde asal çarpanlarına ayırdıktan sonra eşitliğin sol ve sağ tarafındaki yer alan rakamların basamak değerleri önemsenmeksizin toplamı birbirine eşit çıkmaktadır (kaynak: Smith numbers). Gerçekten, eşitliğin sol tarafında yer alan sayılar için 4 + 9 + 3 + 7+ 7 + 7 + 5 toplamı ile sağ tarafında yer alan sayılarla oluşan 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 toplamı birbirine eşittir. Bu özelliği farkeden Wilansky, yaptığı telefon görüşmesinin ardından bu özelliğe sahip başka sayılar olup olmadığını araştırır ve araştırmaları sonucunda bu özelliğe sahip sonsuz adet sayı olduğunu görür.

Burada dikkat edilebilecek bir husus her asal sayının (kendisi ve bir sayısı hariç herhangi bir tam böleni olmayan pozitif sayı) bu özelliği barındırdığıdır. Gerçekten, herhangi bir asal sayının asal çarpanı yine kendisi olup, haliyle iki aynı sayının rakamları toplamı birbirine eşit olacak ve böylece yukarıda bahsettiğim özellik sağlanacaktır. İşte bu yüzden asal olmamak şartıyla, bu niteliğe sahip sayılara, yani basamak değerleri önemsenmeksizin rakamları toplamıyla asal çarpanlara ayrılmış halinde beliren rakamların toplamına eşit olan sayılara Smith sayıları denmektedir. Bir örnek olarak 690 sayısını ele alalım. 690 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali

    \[ 690=2\cdot3\cdot5\cdot23 \]

biçimindedir. Eşitliğin sol tarafında yer alan basamak sayılarının toplamı 6 + 9 + 0 = 15 ve sağ tarafında beliren rakamların toplamı 2 + 3 + 5 + 2 + 3 = 15 olup, bu iki toplam birbirine eşittir ve böylece 690 sayısı bir Smith sayısıdır. Smith sayıları ne işe yarar bilinmez ancak farklı farklı türleri mevcut. Aşağıda bu çeşitleri bildiğim kadarıyla aktarmaya çalışacağım:

Smith Yarı-asalları: İki asal sayının çarpımı biçiminde yazılabilen Smith sayılarına Smith yarı-asal sayısı denir. Örneğin 9985 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali

    \[ 9985=5 \cdot1997 \]

olup, eşitliğin sol ve sağ tarafında bulunan rakamların toplamı birbirine eşittir: 9 + 9 + 8 + 5 = 5 + 1 + 9 + 9 + 7. Böylece 9985 sayısı bir Smith sayısıdır. Diğer taraftan 5 ve 1997 sayıları birer asal sayı olup, 9985 sayısı iki asal sayının çarpımı biçiminde yazılabildiği için özel olarak bir Smith yarı-asalıdır.

    \[ \cdots \]

Palindrom Smith Sayıları: Baştan sona ve sondan başa okunuşları aynı olan sayılara palindrom sayılar denir. 11, 222, 535, 3663, 4444, 14741 gibi… Bir Smith sayısı aynı zamanda palindrom ise bu durumda bu sayı palindrom Smith sayısı dır. Örneğin 535 sayısı bir palindrom sayıdır. Diğer taraftan 666 sayısının asal çarpanları

    \[ 535=5\cdot107 \]

olup, eşitliğin sağ tarafında yer alan rakamların toplamı ile sol tarafında yer alan rakamların toplamı için 5 + 3 + 5 = 5 + 1 + 0 + 7 eşitliği söz konusudur. Böylece 535 bir Smith sayısı olup aynı zamanda palindrom olduğundan, bir palindrom Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Tersinir Smith Sayıları: Eğer bir Smith sayısının tersten yazılmasıyla elde edilen sayı yine bir Smith sayısı ise bu durumda, bu Smith sayısına tersinir Smith sayısı denir. Örneğin 265 sayısının asal çarpanları

    \[ 265=5\cdot53 \]

olup, eşitliğin her iki tarafında beliren rakamların toplamı birbirine eşittir. Dolayısıyla 265 sayısı bir Smith sayısıdır. Diğer taraftan, 265 sayısının tersten yazılması suretiyle oluşan 562 sayısının asal çarpanları

    \[ 562=2\cdot281 \]

olup, bu eşitlikte de her iki taraftaki rakamların toplamı eşittir. Böylece, 265 sayısının tersten yazılmasıyla oluşan 562 sayısı da bir Smith sayısı olup, 265 sayısı (ve 562 sayısı) bir tersinir Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Fibonacci Smith Sayıları: Eğer bir Smith sayısı aynı zamanda, Fibonacci sayı dizisinin bir elemanı ise bu durumda bu sayıya Fibonacci Smith sayısı denir. Örneğin Fibonacci dizisinin 31. elemanı 1346269 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali

    \[ 1346269=557\cdot2417 \]

olup, basamak değerlerine bakılmaksızın eşitliğin sol ve sağ tarafında bulunan rakamların toplamı birbirine eşittir. Bu durumda 1346269 Fibonacci sayısı aynı zamanda bir Smith sayısı olup, böylece bir Fibonacci Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Kare Smith Sayıları: Eğer bir Smith sayısı aynı zamanda bir kare sayı ise, yani bir sayının karesi olarak yazılabilen bir sayı ise bu durumda bu sayıya kare Smith sayısı denir. Örneğin 6084 sayısı 78’in karesidir: 78² = 6084. Dolayısıyla bir kare sayıdır. Diğer yandan, 6084 sayısının asal çarpanlara ayrılmış biçimi

    \[ 6084=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot13\cdot13 \]

biçimindedir. Burada eşitliğin sol ve sağ tarafında yer alan rakamların toplamı birbirine eşittir. Dolayısıyla 6084 kare sayısı aynı zamanda bir Smith sayısıdır ve böylece 6084 bir kare Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Üçgen Smith Sayıları: Kare Smith sayılarına benzer durum tek bir farkla burada da geçerlidir; bu sefer sayı bir üçgen sayı olmalıdır. Yani sayının büyüklüğü kadar nesne vasıtasıyla bir üçgen oluşturulabilmelidir (bkz. üçgen sayı). İşte bu koşullara uygun sayılara üçgen Smith sayıları denir. Örneğin 378 sayısını ele alalım. 378 sayısı 1’den 27’ye kadar olan doğal sayıların toplamıdır:

    \[ 1+2+3+\cdots+27=378 \]

Dolayısıyla tabana 27, onun üzerine 26, onun da üzerine 25 adet nokta (veya herhangi bir nesne) getirilip, bu şekilde devam edilmek suretiyle en üste 1 nokta konularak, bu noktalar vasıtasıyla bir üçgensel bölge oluşturulabilir. Böylece 378 sayısı üçgensel bir sayıdır. Diğer yandan 378 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali

    \[ 378=2\cdot17\cdot17 \]

olup, basamak değerlerine bakılmaksızın eşitliğin her iki yanında bulunan rakamların toplamı birbirine eşittir. Bu durumda 378 sayısı, üçgen sayı olmasının yanı sıra aynı zamanda bir Smith sayısı olup böylece üçgen Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Kübik Smith Sayıları: Kare Smith sayılara ve üçgen Smith sayılara benzer durum burada da söz konusudur. Tek fark, burada sayı üçgensel veya karesel bir sayı yerine, kübik sayı, yani bir sayının küpü olarak yazılabilen bir sayı olmasıdır. Örneğin 729 sayısı, 9’un küpü olduğundan bir kübik sayıdır: 9³ = 729. Diğer taraftan 729 sayısının rakamları toplamı ile asal çarpanlara ayrılmış halindeki rakamlar toplamı birbirine eşittir, yani Smith sayısı olma koşulu sağlanır. Böylece 729 sayısı hem kübik hem de Smith sayısı olup, bir kübik Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Basamakları Tekrar Eden Smith Sayıları: Tüm basamakları aynı olan Smith sayılarıdır. Örneğin on basamaklı 4444444444 sayısını ele alalım: Tüm basamakları birbirini tekrar etmektedir. Bununla beraber aynı zamanda bir Smith sayısıdır. Zira 4444444444 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali

    \[ 4444444444=2\cdot2\cdot11\cdot41\cdot271\cdot9091 \]

olup, eşitliğin sol ve sağ tarafında beliren rakamların toplamı birbirine eşittir. Böylece on basamaklı 4444444444 sayısı, basamakları tekrar eden bir Smith sayısıdır.

    \[ \cdots \]

Smith Kardeşler: Eğer iki Smith sayısı arasındaki fark 1 ise, yani iki Smith sayısı ardışık ise bu durumda bu sayı çiftine kardeş Smith sayıları (Smith kardeşler) veya Smith ikilisi denir. Örneğin 2964 ve 2965 sayıları ardışık olup aynı zamanda her bir sayının rakamlar toplamı, asal çarpanlara ayrılmış biçimindeki rakamlar toplamına eşittir. Böylece (2964,2965) sayı çiftine kardeş Smith sayılarına bir diğer deyişle Smith ikililerine bir örnek teşkil eder.

Sayı adedinin üç, dört veya daha çok olduğu örnekler de mevcuttur. Örneğin ardışık üç Smith sayısı bir Smith üçlüsünü temsil eder. (73615,73616,73617) üçlüsü Smith üçlülerine bir örnektir. Benzer şekilde ardışık dört Smith sayısı Smith dörtlüsü olarak isimlendirilir. Örneğin (4463535, 4463536, 4463537, 4463538) sayı dörtlüsü, Smith dörtlüsüne bir örnek teşkil eder. Benzer şekilde Smith beşlisi, Smith altılısı ve Smith yedilisi örnekleri mevcuttur. Smith sekizlisi için (bildiğim kadarıyla) henüz bir örnek bulunamamıştır.

    \[ \cdots \]

k-Mertebeden Smith Sayıları: Önceki mesajlarda bir sayının basamaklarında bulunan rakamları toplamının, asal çarpanlara ayrılmış halindeki rakamları toplamına eşit olduğunda bu sayının Smith sayısı olduğunu belirtmiştim. Ancak bu tanım Smith sayılarının özel bir hali idi… Genel olarak şu tanımı verebiliriz: Eğer bir sayının asal çarpanlara ayrılmış biçimindeki rakamlar toplamı, sayının rakamları toplamının bir k katı oluyorsa, bu taktirde bu sayıya k-mertebeden Smith sayısı veya kısaca k-Smith sayısı denir. Bir örnek olarak 42 sayısını ele alalım. 42 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali

    \[ 42=2\cdot3\cdot7 \]

biçiminde olup, asal çarpanlarda yer alan rakamlar toplamı 12 ve sayının basamaklarında yer alan rakamlar toplamı ise 6’dır. Kolayca farkedilebileceği gibi asal çarpanlarda yer alan rakamlar toplamı olan 12 sayısı, sayının basamaklarında yer alan rakamlar toplamı olan 6 sayısının iki katıdır. Böylece 42 sayıs 2-Smith sayısıdır. Başka bir örnek olarak 700 sayısını ele alalım. 700 sayısının asal çarpanları

    \[ 700=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot7 \]

dir. 700’ün basamaklarında yer alan rakamlar toplamı 7 ve 700’ün asal çarpanlarına ayrılmış halindeki rakamlar toplamı 21 olup, asal çarpanlarda yer alan rakamların toplamı olan 21 sayısı, sayının basamaklarında yer alan rakamlar toplamı olan 7’nin 3 katıdır. Böylelikle 700 sayısı 3-Smith sayısıdır. Örnekler bu şekilde çoğaltılabilir.

Ayrıca, k-Smith sayısı için, k sayısının bir tam sayı olma zorunluluğu yoktur. Örneğin 88 sayısının asal çarpanları

    \[ 88=2\cdot2\cdot2\cdot11 \]

olup sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinde yer alan rakamların toplamı olan 8, sayının basamaklarındaki rakamların toplamı olan 16’nın yarısı yani 1/2’sidir. Böylece 88 sayısı 1/2-Smith sayısına bir örnek teşkil eder. Bir başka örnek olarak 6969 sayısının asal çarpanları

    \[ 6969=3\cdot23\cdot101 \]

olup, eşitliğin sağ tarafında yani asal çarpanlara ayrılmış halinde yer alan rakamların toplamı 10 ve diğer yandan eşitliğin sol tarafında yani sayının rakamları toplamı olan 30 sayısının 1/3’üdür. Bu yüzden 6969 sayısı 1/3-Smith sayısıdır.

Benzer Yazılar

Henüz yorum yapılmamış

Yorum Yazın

Şu elementleri kullanabilirsiniz : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Arama
RSS
Beni yukari isinla