Mükemmel Sayılar

Hıristiyan düşünür Aziz Augustinus aynen şöyle demiştir:

— Altı kendi içinde mükemmel bir sayıdır, ama Tanrı her şeyi altı günde yarattığı için değil; aslında tam tersi geçerlidir: Tanrı her şeyi altı günde bu sayı mükemmel olduğu için yaratmıştır, yani altı günlük bu süreç olmasaydı da altı sayısı mükemmel olurdu.

Tanrı’nın evreni yaratırken sayılara başvurduğu inancı eskiden oldukça yaygın bir inançtı. Buna örnek olarak, bazı Kitab-ı Mukaddes yorumcuları, yaradılışın 6 gününe ve ayın 28 günlük döngüsüne istinaden 6 ve 28’i Tanrı’nın temel sayıları olarak ele alır. Sayılara mistik anlamların yüklendiği bu dönemlerde, acaba 6 ve 28 sayılarının ne gibi bir özelliği vardı da mükemmel mertebesine konulmuştu?

Bu sorunun yanıtını vermeden önce bir soru daha soralım. A ve B iki pozitif tamsayı olmak üzere, eğer A sayısının kendisi hariç pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı B sayısını ve B sayısının kendisi hariç pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı A sayısını veriyorsa, A ve B sayı çiftine dost sayılar dendiğini Dost Sayılar başlığı altında belirtmiştim. Bu tanımın ardından şu soru akıllara gelebilir:

Kendisiyle dost olan bir sayı var mıdır? Bir diğer deyişle, kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı yine kendisini veren bir sayı mevcut mudur?

İkinci sorunun yanıtı ilk soruda gizlidir. Örneğin 6 sayısını ele alalım. 6 sayısının kendisi haricindeki pozitif tam sayı bölenleri 1, 2 ve 3’tür ve bu sayıların toplamı 6 sayısının kendisini verecektir. 28 sayısını ele alalım: kendisi hariç pozitif bölenleri 1, 2, 4, 7, 14’tür. Bu sayıların toplamı ise

    \[ 1+2+4+7+14=28 \]

olup, kolayca görülebileceği gibi 28 sayısının kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı (tıpkı 6 sayısında olduğu gibi) yine 28 sayısının kendisini verir. Aziz Augustinus’un bahsettiği “mükemmellik” de tam olarak buradadır. Kendisiyle dost olan, yani kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı yine kendisini veren sayılara mükemmel sayılar adı verilir.

Mükemmel sayılar, kesin bir kanıt bulunmamakla beraber Antik Mısır’da ve sonrasında Pisagor döneminde çalışılmış sayılardır. Fakat Antik Yunan’da mükemmel sayılara gösterilen önem büyüktü, zira bu durum, Euclid’in Öğeler (The Elements) isimli kitabının bir bölümünü (altıncı cilt) mükemmel sayılara ayırmış olmasından anlaşılabilir. Euclid bu bölümde,

    \[ 2^{p-1} \]

sayısının asal sayı olması durumunda

    \[ (2^p-1)2^{p-1} \]

sayısının mükemmel olacağını ispatlamıştır. Bu genellemenin retorik ifadesi ise kitapta aynen şu şekilde geçmektedir:

— 1 sayısını istediğimiz kadar ikiye katlayarak toplayalım. Toplam bir asal sayı olduğunda bu toplamı son sayı ile çarparsak, elde edilecek sayı mükemmel sayıdır.

Anlatılmak istenenin matematikçesi şu şekildedir: 1 sayısını ikiye katlayarak elde edeceğimiz toplam

    \[ 1+2+4+ \dotsb +2^{k-1} \]

biçimindedir. Şimdi, eğer bu toplam bir asal sayı ise, bu taktirde toplamı son sayı ile çarparak elde edilecek

    \[ (1+2+4+ \dotsb +2^{k-1})(2^{k-1}) \]

çarpım bir mükemmel sayı olacaktır. Son ifadede yer alan ilk çarpan

    \[ 1+2+4+ \dotsb +2^{k-1} = 2^k-1 \]

olarak formüle edilebilir (tümevarım ile kolayca ispat edilebilir) ve böylece Euclid’in Öğeler’inde belirtilen

    \[ (2^k-1) 2^{k-1} \]

ifadesi elde edilir. Bir örnek olarak 1 sayısını asal sayı bulana ikiye katlayarak kadar toplayalım:

    \[ 1+2=3 \]

olup, 3 asaldır. Dolayısıyla 3 sayısını, toplamın son terimi olan 2 ile çarparsak 6 sayısını elde ederiz ki gerçekten de bu sayı mükemmel sayıdır. Başka bir mükemmel sayı elde etmek için, yine 1 sayısını asal sayı bulana dek ikiye katlayarak toplayalım:

    \[ 1+2+4=7 \]

ve elde edilen 7 sayısı asaldır. 7 sayısını, toplamın son terimi olan 4 ile çarparak

    \[ 7*4=28 \]

mükemmel sayısını elde ederiz. Şimdi, yine  bir mükemmel sayı elde etmek için aynı yöntemi kullanalım:

    \[ 1+2+4+8+16=31 \]

sayısı asaldır. Böylece, 31 sayısını toplamın son terimiyle, yani 16 sayısıyla çarparsak

    \[ 31*16=496 \]

elde ederiz ki, 496 sayısı üçüncü mükemmel sayıdır. Zira 496 sayısının kendisi hariç pozitif bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 olup bu sayıların toplamı 496 sayısının kendisini verir. Bu şekilde diğer mükemmel sayılar da elde edilebilir. Burada şunu belirtmekte fayda var ki şu ana kadar bilinen mükemmel sayıların her biri çifttir, yani henüz bir tek mükemmel sayı bulunamamıştır, fakat buna dair bir genelleme de henüz bulunamamıştır. Yani günümüze kadar yapılan hiçbir çalışma, ne mükemmel sayıların hepsinin çift olacağı iddiasını ispatlamaya ne de bu iddianın aksini ispatlamaya yetmemiştir. Bu yüzden eğer tüm mükemmel sayıların çift olması gerektiğini ispatlarsanız ya da bu iddianın aksine bir örnek gösterirseniz, yani bir tek mükemmel sayı bulursanız, Euler, Descartes, Fermat, Mersenne gibi matematikçilerin çözemediği bu problemi çözerek isminizi tarihe yazdırabilirsiniz! :)

Benzer Yazılar

Yorumlar

Yorum Yazın

Şu elementleri kullanabilirsiniz : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Arama
RSS
Beni yukari isinla