Altın Oranın Matematiksel Hesabı

23198287-digital-golden-ratio-spiral-symbol-vector-illustrationAltın oran her ne kadar antik çağa, hatta Mısır piramitlerinin inşaa edildiği dönemlere kadar uzanan bir kavram olsa da, kaynağı olan matematiksel olgunun belgelenmesi ve matematik literetürüne geçmesi 13. yüzyıla dayanmaktadır. Belgenin adı Liber Abaci (“Abaküs Hakkında Bir Kitap” olarak çevrilebilir) isimli bir kitaptır. Kitabın yazarı ise Leonardo Fibonacci (¹) isimli bir İtalyan matematikçidir. Babası Bonacci İtalya ile Cezayir arasında ticaretle uğraşmakta ve o sıralar genç bir delikanlı olan Fibonacci de yardım amacıyla babasıyla seyahat etmektedir. Bu seyahatleri vesilesiyle Akdeniz’in hem Avrupa hem de Kuzey Afrika kıyılarını gezen ve aynı zamanda pek çok Arap toplumu ile irtibat halinde olan Fibonacci, burada Hint-Arap sayı sistemini öğrenmiş ve bu sistemi kullanmanın, Roma rakamlarını kullanmaktan çok daha kolay olduğunu görmüştür. Bu esnada pek çok Arap matematikçi ile çalışma olanağı da bulmuş ve edindiği tüm birikimlerinin ardından Liber Abaci (²) isimli kitabını yazmıştır.

Kitap o zamanların günlük hayatındaki ticari işlemlerde önemini göstermiştir. Kitabın ikinci baskısının (1228) 123-124 sayfalarında tavşan üremesi ile alakalı bir bölüm yer almaktadır. Bu bölümde, tavşan çiftliği bulunan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia edilen ve çevre koşullarından etkilenmeyip, belirli bir kurala göre üreyen tavşanların gelecek aylardaki sayısına ilişkin bir aritmetik problem yer almaktadır. (³) Problemin çözümüyle elde edilen sayısal değerler –her ayın sonundaki tavşan mevcudu– bugün bilinen Fibonacci dizisinin elemanlarını vermektedir. Bu dizinin elemanlarının baştan 12 tanesi (bir başka deyişle aylara tekabül eden tavşan sayıları):

    \[ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 \]

biçimindedir. Örneğin Ekim ayındaki tavşan mevcudu –ki bu dizinin onuncu elemanı demektir– 55’tir. Ancak bu yazıda temel olarak ele alacağım, tavşan sayısından ziyade işin matematiksel estetiğidir (eğer Fibonacci dizisinin hangi kurala dayalı olarak oluştuğunu daha önceden duymadıysanız, yazının geri kalan kısmını okumadan evvel, öncelikle hemen yukarıda bulunan 12 elemana bakarak, ardışık terimlerin hangi kurala dayalı olarak geldiğini tahmin etmeye çalışın). Bir matematiksel olgudaki estetik, bir armonide yer alan seslerin bütünlüğündeki veya bir resim tablosunda yer alan renklerdeki uyuma benzer. Nasıl ki bir resim, bir köşesinden diğer köşesine veya bir müzik, başından sonuna kadar homojen olarak bir bütünlük içeriyorsa ve bu bütünlük bir uyum arz ediyorsa, matematiksel bir olgu da aynı şekilde bulunduğu sınırlar içerisinde bir uyum içerisindedir. Bu uyum ise niteliğin; aynı söylem, aynı değişim, aynı yöntem ile bozulmadan ardılına nakledilmesinden ileri gelmektedir. Eylemin bozulmadan ardılına geçmesi beraberinde düzeni, düzenin bütüne yayılması beraberinde uyumu ve bu uyumun bu şekilde devam edecek olması ise beraberinde kesinliği getirmektedir. Bu bağlamda matematikteki estetik, onun tek bir şüpheye dahi yer vermeyecek kesinliğinin bir sonucudur.

Fibonacci dizisindeki estetik ise onun yalın ve sade bir düzen üzerine kurulu olmasından ileri gelir. Bu düzenin retorik ifadesi “her terim, kendisinden önce gelen iki terimin toplamıdır” biçimindedir. Bir başka deyişle, ilk iki terim –ki ilk iki terim 1′dir– sayesinde ardışık terimler sırayla inşa edilir. Örneğin ilk iki terim toplamıyla üçüncü terim, ikinci ve üçüncü terim toplamıyla dördüncü terim, üçüncü ve dördüncü terim toplamıyla beşinci terim elde edilir ve bu böyle devam eder (tavşan problemine göre Ağustos ayındaki tavşan sayısı, Haziran ve Temmuz aylarındaki tavşan sayılarının toplamıdır). İşte bu düzene dayalı sayıların sıralı bütününe Fibonacci sayı dizisi denir ve İtalyan matematikçinin anısına F harfi ile sembolize edilir. Buna göre dizinin ilk on terimi,

    \[ \underset{\underset{1}{\downarrow}}{F_1} \hspace{2 mm} \underset{\underset{1}{\downarrow}}{F_2} \hspace{2 mm} \underset{\underset{2}{\downarrow}}{F_3} \hspace{2 mm} \underset{\underset{3}{\downarrow}}{F_4} \hspace{2 mm} \underset{\underset{5}{\downarrow}}{F_5} \hspace{2 mm} \underset{\underset{8}{\downarrow}}{F_6} \hspace{2 mm} \underset{\underset{13}{\downarrow}}{F_7} \hspace{2 mm} \underset{\underset{21}{\downarrow}}{F_8} \hspace{2 mm} \underset{\underset{34}{\downarrow}}{F_9} \hspace{2 mm} \underset{\underset{55}{\downarrow}}{F_{10}} \]

biçimindedir ve bu terimler yukarıda bahsettiğim gibi,

    \begin{align*} F_1+F_2=F_3 \\ F_2+F_3=F_4 \\ F_3+F_4=F_5 \\ F_4+F_5=F_6 \\ \vdots \hspace{9 mm} \ \end{align*}

biçiminde ardışık toplamlarla elde edilir. Alt alta yazdığım bu eşitliklere bakarak, gidişatın nasıl olduğunu kolayca görebilir ve bu vesileyle genel ifadenin nasıl bir biçimde oluşacağını kolayca sezebiliriz. Ancak bir dakika, genel ifade derken tam olarak neyi kastediyoruz? Fibonacci dizisinin terimlerinin nasıl oluştuğunun sözel ifadesini “her terim, kendisinden önce gelen iki terimin toplamıdır” biçiminde yukarıda açıklamıştım. Genel bir ifade ile kastettiğimiz budur. Bu açıklama dizinin elemanları için bir tanım, bir genellemedir. Fakat bu sefer belirteceğimiz genel ifade sembolik, yani matematiksel bir ifade olacaktır. Mademki olgunun tümünü temsil eden bir genel ifade istiyoruz, o halde bu ifadede sayılara yer vermemeliyiz, zira sayılar kesin bir değerin yerini tutmaktadır ve biz genel bir ifade istiyoruz. O halde bunu, sayıların yerini tutan bir sembol –mesela bir harf– ile gerçekleştirmeliyiz ve işe bir sembol belirleyerek başlamalıyız. Bu sembol n olsun. O halde n’den önce gelen iki terimi de (n – 1) ve (n – 2) ile sembolize edebiliriz. Mademki her terim, kendisinden önce gelen iki terimin toplamıdır, o halde artık bunu sembolik olarak ifade edebiliriz;

    \[ F_{n-2}+F_{n-1}=F_n \hspace{3 mm} ; \hspace{3 mm} n=3,4,5 \hdots \]

Eşitlik, üçe eşit veya üçten büyük her n tam sayısı için geçerlidir. (Neden?) Örneğin n yerine 5 değerini yazacak olursak, yukarıda alt alta yazdığım eşitliklerden üçüncüsünü elde ederiz.

Artık yukarıda elde ettiklerimizi, altın oranı elde etme adına yavaş yavaş uygulama vakti geldi. Öncelikle Fibonacci sayılarından yola çıkarak geometrik bir yaklaşım sergileyeceğiz. Bu yaklaşımın bizi sezgisel olarak bir sonuca, altın orana ulaştıracak. İşe kenar uzunluğu Fibonacci dizisinin elemanları olan kareler çizerek başlayacağız. Dizinin elemanlarının

    \[ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \cdots \]

biçiminde devam ettiğini hatırlayalım. İlk olarak birinci elemana karşılık genel kareyi çizelim:

05

Fibonacci dizisinin ikinci elemanı da 1. O halde yine 1 birim uzunluklu bir kare çizelim ve bunu üstteki kare ile birleştirelim:

06

Elde ettiğimiz dikdörtgenin uzun kenarı 2 ve kısa kenarı da 1 birim. Bu çizimin ardından şimdi sıra Fibonacci dizisinin üçüncü elemanında. Bu sefer bir kenarı 2 birim uzunluklu bir kare çizip bunu bir üstte çizdiğimizle birleştirelim:

07

Son eklediğimiz kare ile beraber oluşan dikdörtgenin uzun kenarı 3 birim ve kısa kenarı da 2 birim. Şimdi ise sıra dizinin dördüncü elemanında: Yani 3′te. Aynı mantıkla 3 birim uzunluğunda kenara sahip bir kare çizip, son şeklin uzun kenarına bitişik olacak şekilde ilave edeceğiz:

08

Son çizimimizle beraber elde ettiğimiz şeklin uzun kenarı 5 birim ve kısa kenarı da 3 birimdir. Bundan sonra gelen Fibonacci sayısı 5. O halde aynı biçimde 5 birim uzunluklu bir kare çizip bunu uzun kenarın yanına ekleyelim:

09

5 birimlik kareyi de ekleyerek elde ettiğimiz dikdörtgenin uzun kenarı 8 ve kısa kenarı 5 birimdir. Sıra Fibonacci dizisinin altıncı üyesinde. Bir kenarı 8 birim uzunluklu kare çizip aynı yöntemle bir üstteki şekle ilave edelim:

10

Son eklemeyle beraber uzun kenar 13 birim ve kısa kenar 8 birim. Bu işlemi, Fibonacci dizisinin yedinci üyesi olan 13 sayısı ile devam ederek son bir kez daha tekrarlayalım. 13 birim uzunluğa sahip kareyi üstteki şekle ilave ederek

11

uzun kenarı 21 birim, kısa kenarı ise 13 birim olan bir dikdörtgen elde ederiz. Siz de bu sisteme dayanarak kenar uzunluğu Fibonacci sayısı olan kareleri şekle –ekleme işleminin içten dışa doğru saat yönünde olduğunu dikkate alarak– ilave etmeye devam ederseniz, kenar uzunlukları birbirinin ardılı olan iki Fibonacci sayısından oluşan dikdörtgenler elde edersiniz. Şimdi elde ettiğimiz dikdörtgenlerin uzun kenarlarının kısa kenarlarına oranlarına bir göz atalım:

    \[ \dfrac{1}{1} , \dfrac{2}{1} , \dfrac{3}{2} , \dfrac{5}{3} , \dfrac{8}{5} , \dfrac{13}{8}, \dfrac{21}{13} , \cdots \]

Kolayca farkedebileceğiniz gibi kesirlerin hem payları, hem de paydaları Fibonacci sayılarından oluşmaktadır. Üstelik paydaki değerler, paydadaki değerlerin diziye göre ardışığı konumunda. Şimdi bu kesirlerin –ve bu işleme devam ederek elde edeceğimiz kesirlerin– ondalık değerlerine bir göz atalım:

    \[ \newcommand*\rfrac[2]{{}^{#1}\!/_{#2}} \begin{tabular}{ l | c | r } \hline \rfrac{F_2}{F_1} & \rfrac{1}{1} & 1,0000000000 \\ \hline \rfrac{F_3}{F_2} & \rfrac{2}{1} & 2,0000000000 \\ \hline \rfrac{F_4}{F_3} & \rfrac{3}{2} & 1,5000000000 \\ \hline \rfrac{F_5}{F_4} & \rfrac{5}{3} & 1,6666666666\\ \hline \rfrac{F_6}{F_5} & \rfrac{8}{5} & 1,6000000000\\ \hline \rfrac{F_7}{F_6}& \rfrac{13}{8} & 1,6250000000 \\ \hline \rfrac{F_8}{F_7} & \rfrac{21}{13} & 1,6153846154 \\ \hline \rfrac{F_9}{F_8} & \rfrac{34}{21} & 1,6190476190 \\ \hline \rfrac{F_{10}}{F_9} & \rfrac{55}{34} & 1,6176470588 \\ \hline \rfrac{F_{11}}{F_{10}} & \rfrac{89}{55} & 1,6181818182 \\ \hline \rfrac{F_{12}}{F_{11}} & \rfrac{144}{89} & 1,6179775281 \\ \hline \rfrac{F_{13}}{F_{12}} & \rfrac{233}{144} & 1,6180555556 \\ \hline \end{tabular} \]

Kolay bir şekilde görebileceğiniz üzre sonuçlar önce artıyor, sonra azalıyor ve bu böyle devam ediyor… Bu artma ve azalmalar gittikçe daralarak bir değere doğru yaklaşıyor. Bunu aşağıdaki grafikle görselleştirelim:

14

Grafik, az önce yazdığım ardışık oranların sonuçlarının bir görsel gösterimidir. Yatay eksen ardışık Fibonacci sayılarının birbirine olan oranını, düşey eksen ise bu oranların sonuçlarını göstermektedir. Salınım hareketi gerçekleştiren bir sarkacın hareketine benzer şekilde, oranlar ardışık olarak artış ve azalış gösteriyor. Bu artış ve azalışlardaki değişim gittikçe küçülüyor ve terimler büyüdükçe (yani n değeri arttıkça) oran belli bir değere doğru yaklaşıyor. Zira 13. terimin 12. terime oranına ve bundan sonra gelen oranlara bakacak olursak, ilk dört ondalık hanenin 1,6180′de sabitlendiğini ve değişimlerin bundan sonraki basamaklarda –yani daha küçük aralıklarda– gerçekleştiğini gözlemleyebiliriz. Terimler büyüdükçe değişimin gerçekleştiği aralık küçülür ve oran bir sayıya doğru yaklaşır. Matematikte biz yaklaşılan bu sayıyı

    \[ \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n} \]

biçiminde ifade ederiz. Yani n değeri sonsuza gittikçe –bir başka deyişle dizinin terimleri çok çok büyüdükçe– elde ettiğimiz oran yaklaşılan sayıdır, ki bu sayı aynı zamanda aradığımız sayının kendisidir, yani altın oran. Ancak bu yöntem ile altın orana sadece bir yaklaşım sergiliyoruz, kesin olarak bir değer elde edemiyoruz. Bu sayıyı kesin olarak nasıl elde edebiliriz? Burada işin matematik boyutuna kısa bir mola verelim ve beraber antik çağa gidelim.

Aradığımız sayıyı elde etmenin bir yöntemi antik çağa dayanmaktadır. O tarihlerde ressamlar, heykeltraşlar yapıtlarındaki orantısızlık sebebi ile alay konusu oluyorlardı. Yapıtlarının gülünç olmaması, beğenilmesi ve yapıtlarındaki insan figürlerinin cazip, çekici ve estetik görünmesi adına insanın boyutlarına dair ideal bir ölçü arayışı mevcut idi. Bu arayış süresince yapıtlarında farklı farklı oranlar denediler ve bu denemeler sonucunda ideal insandaki oranın şu şekilde bir ölçüde olmasına karar verdiler: Bu estetik ve ideal ölçüye göre bir insanda boy uzunluğunun, göbekten ayak uçlarına kadar olan mesafeye oranı ile, göbekten ayak uçlarına kadar olan mesafenin göbekten başucuna kadar olan mesafeye oranına eşit olmalıdır. Yani,

    \[ \dfrac{\text{Bel-Ayak Mesafesi}}{\text{Bel-Kafa Mesafesi}}=\dfrac{\text{Boy}}{\text{Bel-Ayak Mesafesi}} \]

eşitliği geçerli olmalıdır. Estetik olarak kabul edilen bu oran altın oranın ta kendisidir. Evet şaşırtıcı olsa da, o zamanlar yaşamış doğa filozofları ve sanatçılar ellerinde bilimsel verileri ve şu an sahip olduğumuz kuvvetli matematiksel araçları olmamasına rağmen bu oranı sadece sezgilerine dayanarak –yaklaşık olarak– elde etmişlerdir. Örneğin nasıl bir hesap yaptığı bilinmese de Euclid, Öğeler (The Elements) isimli eserinde bir doğruyu 1,6180 oranında iki parçaya ayırmaktan bahsetmiş ve bu işlemi “bir doğruyu ekstrem oranda bölmek” olarak isimlendirmiştir. M.Ö. 400′lü yıllarda Antik Yunanistan’da yaşamış ünlü heykeltraş Phidias yapıtlarında bu oranı kullanmış ve ilk kez 1900′lü yıllarda Amerikalı matematikçi Mark Barr altın oranı Phidias ismine ithafen yunanca φ (fi) sembolü ile kullanmıştır.

Az önce matematiğe verdiğimiz molayı artık noktalayabiliriz, çünkü şu an elimizde bir denklem var ve biz bu denklemin çözümünü arıyoruz. Kolay olması açısından denklemde belirttiğimiz boy-göbek-ayak mesafelerini aşağıdaki şekildeki gibi harflendirelim:

17

Görmüş olduğunuz heykel, 19. yüzyılda İtalya’nın Pisa kentinde yapılan Fibonacci’nin heykelidir. Yazının bu kısımlarını yazarken kendi içimde, kullanacağım insan figürünün cinsiyeti kadın mı olsun, erkek mi olsun yoksa küçük bir çocuk mu olsun tartışması yaşarken, sonunda en uygun olanın Fibonacci heykeli olacağında karar kıldım. Görmüş olduğunuz gibi göbek-ayak uzunluğunu a ve göbek-baş uzunluğunu da b ile ifade ettim. Bu durumda boy uzunluğu a + b olacaktır. Bu harflendirmeler doğrultusunda yukarıdaki denklem,

    \[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{a} \]

halini alır. Bu denklemde aradığımız değer göbek-ayak arası mesafenin göbek-baş arası mesafeye oranı, yani a’nın b’ye oranıdır. Denklemi kolayca çözebilmek adına sağ taraftaki kesri, iki kesrin toplamı biçiminde ifade edelim:

    \[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a} \]

Mademki aradığımız değer a/b kesridir, o halde bu kesre x diyelim. Şu durumda denklemde yer alan b/a ise, bu kesrin çarpmaya göre tersi olan 1/x değerini alacaktır. a/a kesrinin de 1′e denk olduğunu ilave edersek, denklem son olarak

    \[ x=1+\dfrac{1}{x} \]

biçimini alır. İşin bu kısmından sonrası basit 10. sınıf matematiğine dayanmaktadır (iyi bir 8. sınıf öğrencisi de işlemleri rahatlıkla kavrayabilir). Kesirli ifadeden kurtarmak adına denklemin her iki tarafını da x ile çarpar, ardından da tüm değerleri denklemin aynı tarafına toplarsak denklem

(1)   \begin{equation*} x^2=x+1 \hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} x^2-x-1=0 \end{equation*}

halini alır. Bu ikinci dereceden denklemin çözümü bize altın oranı verecektir. Bu yüzden bu denklemi (1) denklemi olarak isimlendirelim.

    \[ x_{1,2}=\dfrac{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

kök bağıntısı yardımıyla

    \[ \dfrac{1 \mp \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}=\dfrac{1 \mp \sqrt{5}}{2} \]

olup, buradan (1) denkleminin çözümleri,

    \[ x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \hspace{3 mm} x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \]

bulunur. Aradığımız değer –altın oran– pozitif bir değer olduğundan tercihimiz birinci çözümden yanadır. Dolayısıyla,

    \[ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \]

değeri, az önce yaklaşık olarak elde ettiğimiz altın oranın tam değeridir. Sonuç, içerisinde irrasyonel bir ifade barındırmasından ötürü irrasyonel bir sayıdır. Şimdi biraz geriye, Fibonacci dizisinin ardışık oranlarına dönelim…

Biraz yukarıda, ardışık fibonacci sayılarının oranları vesilesiyle altın oran değerine yaklaşmıştık. Fibonacci dizisinde yer alan bu sayılar içerisinden ne kadar büyük indisli ardışık terim alırsak, elde ettiğimiz oran da altın orana o kadar yakın bir değer oluyordu. Şimdi farklı gibi gözüken fakat temelinde aynı mantğı içeren son derece estetik bir yaklaşımla altın oran değerini elde edeceğiz. Bunun için yukarıda yazdığım ardışık oranların ilk bir kaçını bir kez daha yazıyorum:

    \[ \dfrac{1}{1} , \dfrac{2}{1} , \dfrac{3}{2} , \dfrac{5}{3} , \dfrac{8}{5} , \dfrac{13}{8}, \dfrac{21}{13} , \cdots \]

İlk iki kesir olan 1/1 ve 2/1 kesirlerini,

    \begin{align*} \dfrac{1}{1} &= 1 \\ \dfrac{2}{1} &= \dfrac{1 + 1}{1} = 1 + \dfrac{1}{1} \end{align*}

biçiminde kolayca ifade edebiliriz. Şimdi uygulayacağımız yöntemde amacımız ardışık oranları tamsayılı kesirlere çevirerek yalnızca 1 rakamı ile ifade etmeye çalışmak olacak. Örneğin üçüncü kesir olan 3/2′yi,

    \[ \dfrac{3}{2} = 1 + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{\dfrac{2}{1}} = 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1}} \]

biçiminde gösterebiliriz. Burada yaptığımız ilk olarak kesri tamsayılı kesre çevirmek ve ardından geri kalan ifadeyi 1′ler cinsinden belirtmektir. Şimdi sırada 5/3 kesri var:

    \[ \cfrac{5}{3}=1+\cfrac{2}{3}=1+\cfrac{1}{\cfrac{3}{2}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac{2}{1}}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}} \]

Yaptığımız yine benzer bir mantıkla 5/3 kesrini tamsayılı kesre çevirmektir. Bir öncekiyle aradaki tek fark 5/3 kesrini tamsayılı kesre çevirdikten sonra elde ettiğimiz 3/2 kesrini bir kez daha tamsayılı kesre çevirerek aynı işlemi iki kez uygulamaktır. Şimdi bir gayretle 8/5 kesrine benzer işlemleri uygulayalım:

    \begin{align*} \cfrac{8}{5} &= 1+\cfrac{3}{5}=1+\cfrac{1}{\cfrac{5}{3}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{3}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac{3}{2}}}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}} \\ &= 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}}} \end{align*}

Yaptığımız işlemler daha uzun olmasına rağmen önceki basamaktakilerden farklı bir işlem uygulamadık. Tek fark, bu sefer tamsayılı kesre çevirme işlemini üç kez gerçekleştirdik; 8/5 kesrinden 5/3 kesrine, 5/3 kesrinden 3/2 kesrine ve son olarak 3/2 kesrinden 2/1 kesrine… Öyle sanıyorum ki bu kadar işlem, gözlemlemenizi istediğim şeyi farketmeniz için yeterli. Bu yüzden 13/8 kesri ile devam etmek yerine kesirlerin sonuçlarına dikkatinizi çekmek istiyorum. 1/1 oranından 8/5 oranına ilerledikçe elde edilen sonuçlarda yer alan 1 sayısı ile olan toplamların ve 1 sayısı ile olan bölümlerin, aynı biçimde arttığını rahatlıkla farkedebilirsiniz. Dolayısıyla devam eden diğer ardışık oranların da –13/8, 21/13, 34/21, …– bu simetriye sahip bir kesirler zinciriyle temsil edildiğini söyleyebiliriz. Örneğin hiç hesap yapmadan 8/5 oranından sonra gelen 13/8 oranının

    \[ \cfrac{13}{8}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1}}}}} \]

biçiminde temsil edilebileceğini iddia edebiliriz. Burada yaptığımız tek şey 8/5 oranını temsil eden ve 1′lerden oluşan çok katlı kesrin en altında yer alan 1′in yanına 1/1 ilave etmektir. Şimdi altın oranın

    \[ \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n} \]

limitine eşit olduğunu, yani “indis değeri çok çok büyükken ardışık iki Fibonacci sayısından büyük olanın küçük olana oranının altın oranı verdiğini” hatırladıktan sonra şu cesur tahminde bulunabiliriz: Mademki indis çok çok büyük iken –yani n sonsuza giderken– bu limit altın orana eşit oluyor o halde çok katlı kesirlere simetrisi bozulmayacak şekilde sonsuz miktarda 1/1 ilave edersek, elde edeceğimiz sonuç altın oranın kendisini temsil eden çok katlı sonsuz kesir olacaktır. Sonucu da x sembolü ile gösterirsek bu sonsuzluğu

    \[ \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\vdots}}}} = x \]

biçiminde ifade edebiliriz. Burada yer alan üç nokta gösterimi “bu şekilde sonsuza kadar gidiyor” anlamı taşır. Sonsuz demek, “sonu gelmeyen” demektir. İşin püf noktası tam da buradadır: Eğer sonu gelmeyen ifadeler zincirinden bir halka çıkartırsak, geriye kalan kısım yine sonsuz olarak nitelendirilir. Yani zincir halkasındaki zincir sayısı değişmez, çünkü zincir halkası “sonu gelmeyen” olma özelliğini korumaya devam eder. O halde buradan şu çıkarımı dile getirebiliriz: Madem sonu gelmeyen zincir halkasına benzer şekilde elimizdeki çok katlı kesir de sonsuza uzanıyor, o halde sonsuz sayıda olan bu kesirlerin içerisinden bir tanesini hariç tutmak kesrin değerini değiştirmeyecektir, çünkü kesir yine sonsuza gitmeye devam edecektir.

    \[ 1+\cfrac{1}{\boxed{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\vdots}}}}} = x \]

Nasıl ki sonsuz halkadan oluşan bir zincir halkasından bir halka çıkartmak sonsuzluğu bozmayacak, sonsuz kesirden de bir kesri hariç tutmak sonucu değiştirmeyecektir. Mademki sonuç x’e eşit, o halde en üstteki kesri hariç tutarsak, geriye kalan çok katlı sonsuz kesir de x’e eşit olacaktır. O halde yukarıdaki sonsuz kesirli denklem,

    \[ 1+\cfrac{1}{x}=x \]

halini alır. Şimdi denklemin her iki tarafını da x ile çarpar, tüm ifadeleri denkliğin aynı tarafına toplarsak,

    \[ x+1=x^2 \hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} x^2-x-1=0 \]

elde ederiz ki bu yukarıda (1) olarak isimlendirdiğimiz denklemin ta kendisidir. Yukarıdaki hesaplarımıza göre biliyoruz ki, bu denklemin sonucu bize

    \[ \cfrac{1+\sqrt5}{2} \]

değerini, yani altın oranın kendisini verecektir. O halde,

    \[ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\vdots}}}} \]

çok katlı kesri, bize altın oranın yalnızca 1′ler sayesinde üretilen eşsiz bir gösterimini sunar. Ayrıca altın oranın sonsuza uzanan çok katlı bir kesirle temsil edilmesi, irrasyonel sayılar kümesine dahil olduğunun bir başka gösterimidir. Altın oranın yine 1′ler vesilesiyle, ancak bu sefer kesirlerle değil, köklü ifadelerle olan eşsiz bir diğer gösterimi ise

    \[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\hdots}}}} \]

biçimindedir. Burada köklü ifadenin içerisi aynı düzenle sonsuza uzamaktadır. Sonsuza değin uzanan kesirlerde izlediğimiz mantığı burada da uygulayacağız. En dışarıdaki kökü ve 1 sayısını hariç tutarsak, geriye kalan kısım sonsuza gitmeye devam edecektir.

    \[ \sqrt{1+\boxed{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\hdots}}}}} \]

Dolayısıyla ilk kısmı hariç tutmak ne ifadedeki kök sayısını, ne de 1′lerin sayısını değiştirecektir. O halde sonsuz adet köklü ifadenin sonucu x ise, ilk kökü hariç tutarak elde edeceğimiz kalan köklü ifadeler bütünlüğü de yine sonsuz adettir ve sonucu da yine x tir. Bu doğrultuda yukarıdaki denklem,

    \[ x=\sqrt{1+x} \]

halini alır. Son denklemde, karekökten kurtulmak adına denklemin her iki tarafının karesini alır ve tüm ifadeleri sol tarafa toplarsak,

    \begin{align*} x^2=(\sqrt{1+x})^2 \hspace{3 mm} &\Rightarrow \hspace{3 mm} x^2=1+x\\ & \Rightarrow \hspace{3 mm} x^2-x-1=0 \end{align*}

eşitliğini elde ederiz. Son eşitliğe yabancı değiliz; bu eşitlik yukarıda tanımladığımız ve sonucu altın orana eşit olan (1) eşitliğinin kendisidir. Bu doğrultuda

    \[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\hdots}}}} \]

gösterimi de altın oranın yalnızca 1′ler tarafından üretilen eşsiz bir diğer temsilidir. Buraya kadar Fibonacci dizisinden yola çıkarak altın oranın değerini hesapladık. Ancak henüz hem Fibonacci dizisinin elemanlarını, hem de altın oranı içeren, yani Fibonacci dizisinin elemanları ile altın oranı ilişkilendiren bir bağıntı elde etmedik. Altın oranı φ sembolü ile gösterelim. φ değeri (1) denkleminin bir kökü olduğundan, (1) denkleminde x yerine konulabilir.

    \[ \varphi^2-\varphi-1=0 \]

Şimdi denklemde yer alan φ ve 1 ifadelerini eşitliğin sağ tarafa alalım,

(2)   \begin{equation*} \varphi^2=\varphi+1 \end{equation*}

ve denklemin son halini (2) ile isimlendirelim. φ²’nin φ + 1 olduğunu biliyoruz. O halde, bu bilgiden yola çıkarak φ’nin daha yüksek kuvvetlerini bulmaya çalışalım. Örneğin işe φ³ ile başlayalım:

    \[ \varphi^3 = \varphi^2 \cdot \varphi \]

olup, φ² yerine (**) denklemindeki eşitini yazarsak,

    \begin{align*} \varphi^3 &= \varphi^2 \cdot \varphi \\ &= (\varphi + 1) \cdot \varphi \\ &= \varphi^2 + \varphi \end{align*}

elde ederiz. Son durumda φ² ifadesinin yerine tekrar (**) denklemindeki eşitini yazarak,

    \begin{align*} \varphi^2 + \varphi &= (\varphi + 1) + \varphi \\ &= 2\varphi + 1 \end{align*}

buluruz. Dolayısıyla φ³ ifadesinin eşitini 2φ + 1 olarak elde ederiz. (**) denklemine dikkat ederseniz eşitliğin sol yanı ikinci dereceden iken, sağ yanı birinci derecedendir. Eşitliklerde φ² yerine φ + 1 koyarak, elimizdeki ifadenin derecesini düşürmüş ve böylece daha sade bir ifade elde etmiş oluyoruz. Hesaplayacağımız diğer kuvvetlerde de yöntemimiz hep φ² yerine φ + 1 koymak ve bu suretle derece küçültmek olacak. Şimdi φ’nin dördüncü kuvvetini hesaplayalım. φ’nin dördüncü kuvvetini,

    \[ \varphi^4 = \varphi^3 \cdot \varphi \]

biçiminde yazabiliriz. Bir üst basamakta elde ettiğimiz φ³ = 2φ + 1 sonucunu kullanarak,

    \begin{align*} \varphi^4 &= \varphi^3 \cdot \varphi \\ &= (2\varphi + 1) \cdot \varphi \\ &= 2\varphi^2 + \varphi \end{align*}

elde ederiz. Şimdi φ² yerine (**) denklemindeki eşitliğini yazarak,

    \begin{align*} 2\varphi^2 + \varphi &=2(\varphi + 1) + \varphi \\ &= 3\varphi + 2 \end{align*}

buluruz. Dolayısıyla φ’nin dördüncü kuvvetini 3φ + 2 olarak bulduk. Şimdi sıra φ’nin beşinci kuvvetinde:

    \[ \varphi^5 = \varphi^4 \cdot \varphi \]

olup, φ’nin dördüncü kuvveti yerine az önce elde ettiğimiz 3φ + 2 sonucunu koyarsak,

    \begin{align*} \varphi^4 \cdot \varphi &=(3\varphi + 2) \cdot \varphi \\ &= 3\varphi^2 + 2\varphi \end{align*}

elde ederiz. φ²’nin (**) denklemindeki eşitini son ifadede yerine koyarak,

    \begin{align*} 3\varphi^2 + 2\varphi &=3 \cdot (\varphi + 1) + 2\varphi \\ &= 5\varphi + 3 \end{align*}

sonucunu elde ederiz. Son olarak φ’nin altıncı kuvvetini hesaplayalım:

    \begin{align*} \varphi^6 &= \varphi^5 \cdot \varphi \\ &=  (5\varphi + 3) \cdot \varphi \\ &= 5\varphi^2 + 3\varphi \end{align*}

Şimdi aynı şekilde (**) eşitliğini göz önüne alalım: φ² = φ + 1 için,

    \begin{align*} 5\varphi^2 + 3\varphi &=5 \cdot (\varphi + 1) + 3\varphi \\ &= 8\varphi + 5 \end{align*}

sonucunu elde ederiz. Bu işlemi periyodik olarak istediğimiz kadar devam ettirebiliriz. Ancak öyle sanıyorum ki, φ’nin altıncı kuvvetine kadar elde ettiğimiz denklemler genel bir bağıntı kurmak adına bir tahminde bulunabilmek için yeterli olacaktır. φ’nin kuvvetlerine karşılık gelen elde ettiğimiz değerlere bir göz atalım:

    \begin{align*} \varphi^1 = 1 \cdot \varphi + 0 \\ \varphi^2 = 1 \cdot \varphi + 1 \\ \varphi^3 = 2 \cdot \varphi + 1 \\ \varphi^4 = 3 \cdot \varphi + 2 \\ \varphi^5 = 5 \cdot \varphi + 3 \\ \varphi^6 = 8 \cdot \varphi + 5 \end{align*}

Eğer istersek işlemleri bu şekilde ardışık olarak devam ettirebiliriz ve φ’nin daha yüksek kuvvetlerini elde edebiliriz, ancak buradaki önemli nokta denklemlerdeki katsayıların hangi kurala göre değiştiğini tespit edebilmektir. Bunun için sayılardaki değişimleri gözlemleyelim. Eşitliklerin sağ taraflarında yer alan φ’nin katsayılarana dikkat edelim.

Kolayca farkedebileceğiniz üzre eşitliğin sağ yanında yer alan φ’nin katsayıları ve sabit terimler Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinden oluşmaktadır. Diğer taraftan, eşitliğin sağ tarafındaki φ’nin katsayısı Fibonacci dizisinin kaçıncı sıradaki elemanı ise, eşitliğin sol yanında φ’nin o dereceden kuvveti alınmıştır. Örneğin dördüncü denklemde φ’nin dördüncü dereceden kuvveti alınmıştır. Öbür yandan denklemin sağ tarafında ise φ’nin katsayısı olan 3 sayısı Fibonacci dizisinin dördüncü terimi, sabit terim olan 2 sayısı ise fibonacci dizisinin üçüncü terimidir. Altıncı denklemde φ’nin altıncı dereceden kuvveti mevcut olup, φ’nin katsayısı Fibonacci dizisinin altıncı terimi ve sabit terim de Fibonacci dizisinin beşinci terimidir. Denklemler bu düzende devam etmektedir. Bu bilgiler doğrultusunda yukarıda yazdığım denklemleri, Fibonacci dizisindeki gösterimleri ile

    \begin{align*} \varphi^1 &= F_1 \cdot \varphi \\ \varphi^2 &= F_2 \cdot \varphi + F_1 \\ \varphi^3 &= F_3 \cdot \varphi + F_2 \\ \varphi^4 &= F_4 \cdot \varphi + F_3 \\ \varphi^5 &= F_5 \cdot \varphi + F_4 \\ \varphi^6 &= F_6 \cdot \varphi + F_5 \end{align*}

biçiminde yazabiliriz. Şimdi artık devam eden denklemlerin gidişatı hakkında daha da kesin bir fikre sahibiz. Gidişata bakarak elde etmek istediğimiz genel ifadeyi az çok tahmin edebiliriz. Ancak yazının başında da belirttiğim gibi, ortaya elimizdeki verilerin bir genellemesini çıkarmak istiyorsak bunu sayıları temsil edecek bir sembol ile gerçekleştirmeliyiz. Bunun için ilk olarak bir sembol seçmeliyiz, bu sembol yine n olsun. Denklemin sol yanında, φ’nin kuvvetine n diyecek olursak, denklemin sağ yanında φ’nin katsayıları da Fibonacci dizisinin n-inci terimi olacaktır. Denklemin sağ tarafındaki sabit terimler ise n-inci terimden önce gelen ardışığı yani (n-1)-inci terim olacaktır. O halde artık yukarıda alt alta yazdığım denklemlerin genel ifadesini yazabiliriz:

    \[ \varphi^n = F_n \cdot \varphi + F_{n-1} \]

Böylece hem altın oranı hem de Fibonacci dizisinin genel terimini aynı bağıntı içerisinde barındıran bir eşitlik elde ettik. Bu eşitlik altın oran ile Fibonacci dizisi arasındaki ilişkiyi tanımlayan matematiksel denkliktir. Eğer istersek elde ettiğimiz bu bağıntıyı bir adım daha öteye taşıyabiliriz. Meraklısına, bu eşitlikten yola çıkarak Fibonacci dizisinin genel terimi ile altın oran arasındaki bir diğer ilişkiyi veren Binet Formülünü elde edeceğim.

    \[ x^2-x-1=0 \]

denkleminin iki kökü olduğunu yukarıda belirtmiştik. Bu köklerden biri altın oranı temsil eden

    \[ \varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \]

φ sayısı iken, diğer kökü de

    \[ \psi=\dfrac{1-\sqrt5}{2} \]

ψ (psi) sembolü ile ifade edelim. Hem φ hem de ψ sayıları, bu (1) denkleminin bir kökü olduklarından, bunların her ikisi de az önce bulduğumuz eşitliği sağlayacaktır. Bir başka deyişle φ için geçerli olan

    \[ \varphi^n = F_n \cdot \varphi + F_{n-1} \]

bağıntısı ψ için de geçerlidir. O halde eşitlikte φ yerine, diğer kök olan ψ sayısını yazarak

    \[ \psi^n = F_n \cdot \psi + F_{n-1} \]

denklemini elde ederiz. Şimdi bu iki denklemi taraf tarafa çıkarırsak,

    \begin{align*} \varphi^n - \psi^n &=  (F_n \cdot \varphi + F_{n-1}) - (F_n \cdot \psi + F_{n-1}) \\ &=  F_n \cdot \varphi - F_n \cdot \psi \\ &=  F_n \cdot (\varphi - \psi) \end{align*}

buluruz. Son ifadedeki φ – ψ değeri,

    \begin{align*} \varphi - \psi &=\dfrac{1+\sqrt5}{2} - \dfrac{1-\sqrt5}{2} \\ &= \sqrt5 \end{align*}

olup, bu değeri, elde ettiğimiz bir önceki sonuçta yerine koyarsak,

    \begin{align*} \varphi^n - \psi^n &=F_n \cdot (\varphi - \psi) \\ &=  F_n \cdot \sqrt5 \hspace{5 mm} \Rightarrow \hspace{5 mm} F_n = \dfrac{1}{\sqrt5} \cdot (\varphi^n - \psi^n) \end{align*}

bağıntısını elde ederiz ki bu da elde etmek istediğimiz ve Binet Formülü olarak bilinen bağıntının kendisidir. Yukarıda elde ettiğimiz eşitlikten farklı olarak, bu eşitlik bize direk olarak Fibonacci dizisinin istediğimiz elemanını vermektedir (halbuki bundan bir önceki sefer elde ettiğimiz bağıntıya bakacak olursanız, hem n-inci hem de (n-1)-inci Fibonacci terimlerinin bağıntıda yer aldığını göreceksiniz). Bu eşitlikte φ ve ψ bilinen değerlerdir. O halde Fibonacci dizisinin kaçıncı sıradaki üyesini elde etmek istiyorsak n yerine o değeri vererek sonuca ulaşabiliriz.

Her ne kadar altın oranın doğada insanoğlunun karşısına çıktığı yerler, bu yazının bir konusu olmasa da şuna değinmeden geçemeyeceğim: Evet altın oran; dna zincirimizden bronşlarımızın dallanmasına, çam kozalağından deniz kabuğuna, vücudumuzun belirli parçalarının boyutça birbirlerine olan oranlarından çeşitli bitkilerin yapraklarının veya çiçeklerinin dallanmasına pek çok yerde karşımıza çıkmaktadır. Kısacası altın oran, bilimsel olgularda önemli rol oynayan bir sayıdır. Ancak M.Ö. yaşamış Pisagorcular misali, deyim yerindeyse “altın oran tiryakisi” gibi bu sayıyı tepeden inme, mucize bir sayıymış gibi düşünmek, içerisine ilahi bir takım anlamlar yüklemeye çalışmak, hem bilime hem de yirmili yaşlarının sonuna doğru bu konu hakkındaki ilk çalışmasını tamamlayan bu 13. yüzyıl delikanlısına bir saygısızlıktır. Fibonacci’nin, kendi adıyla anılan sayı dizisi ile altın oran arasındaki ilişkinin farkında olup olmadığını bilmiyoruz. Ancak şu bir gerçek ki, mikro dünyadan makro dünyaya her yerde karşımıza çıkan bu altın oran, Fibonacci sayı dizisinin bir ürünüdür, ki bu yazı altında göstermeye çalıştığım da budur. Bu sayı dizisi ise Fibonacci vesilesiyle matematik literatürüne geçmiş ve matematik literatürüne geçmesi sayesinde altın oran ve Fibonacci dizisi ile elde edebileceğimiz diğer sonuçlar nesnellik kazanmıştır. Nesnelliğin neden bu kadar mühim olduğunu daha iyi kavrayabilmek açısından, bir an için nesnel olmayan yani kişiden kişiye göre değişen bir estetik oran düşünün: Mimar Sinan’ın her yapıtında farklı bir oran kullanması, Leonardo da Vinci’nin Son Akşam Yemeği (The Last Supper) isimli tablosunun her bir köşesinde farklı bir altın oran kullanması veya daha iyi anlamamızı sağlayacak bir örnek olarak dallanan bronşlarımızdaki oranın durumdan duruma göre değişmesi açıkçası ne hoş, ne de estetik bir durum olurdu… Estetiğin nesnel olmadığı bir yerde size göre 1,618 olan, bir başkasına göre 1,619 neden olmasın? İşte bu ikilemlerin ortadan kalkmasının ve doğanın, sanatın ve insanların hemfikir olmasının altında yatan etken, matematiksel yapı ile kazanılan nesnelliktir.

Neden-sonuç ilişkisi üzerine kurulu düzenimizde altın oranın kaynağı Fibonacci sayıları ve Fibonacci sayılarının kaynağı ise mantıksal aracımız olan matematiktir. Bundan dolayı buradaki alkışlar, altın orandan ziyade Fibonacci’ye ve matematiğin gücüne olmalıdır. Yazımı, matematiksel bilgiyi temel alıp, üzerine biraz tarihi bilgi serpiştirerek yazmamın sebebi de budur; bilgiyi, kendisini doğuran sebepleriyle birlikte vermektir. Altın oranın tarihte M.Ö. 2500′lü yıllardan Fibonacci’nin 27. yaşına kadar pek çok yerde, pek çok toplum tarafından birbirlerinden bağımsız ve habersiz bir şekilde kullanılmıştır. Bu yüzden altın oranın defalarca keşfedilmiş olması muhtemel bir durumdur. Ancak Fibonacci’nin 27. yaşından itibaren altın oran, Fibonacci dizisiyle beraber hem nesnellik hem de nedensellik kazanmış ve böylece bilim literatürüne geçmeye hak kazanmıştır.

(¹) Esasında gerçek ismi “Pisalı Leonardo” anlamına gelen Leonardo Pisano dur. Fibonacci ismiyle anılmasının arkasında Fibonacci kelimesinin o zamanki anlamı yatmaktadır: Bu kelimenin sözcük anlamı “Bonacci’nin oğlu”dur.

(²) Hint-Arap sayı sistemindeki sayısal simgeler (1, 2, 3, …) Avrupa’ya bu konuda yazılmış kitaplar ile yayılmıştır. Liber Abaci, bu kitaplar arasında en önemlilerinden biridir. Fibonacci’yi matematik ve bilim tarihinde bu denli önemli yapan sebeplerden biri de işte bu kitabıdır. Hatta kitabına “dokuz Hint rakamı ve bir de sıfır işaretiyle bütün sayılar yazılabilir” cümlesiyle giriş yapmıştır (Sinan Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, Tübitak Yayınları, s. 56). Siz de bunun ne denli önemli olduğunu görmek istiyorsanız, bir an için Roma rakamlarını kullanmak şartıyla, sayıları alt alta koyarak bildiğimiz toplama, çıkartma, çarpma gibi temel işlemleri yapmaya çalışın. İşte o zaman, şu an kullandığımız sayı sisteminin bize aritmetikte ne büyük kolaylık sağladığını göreceksiniz. Pozitif bilimlerin temelinde aritmetik hesap yatar. O tarihlerde Avrupa’nın pozitif bilimlerde ilerleyemeyişinin temelinde, o zamanların kıt aritmetik yöntemleri yer almaktadır.

(³) Meraklısına problem şu şekildedir: Çevre koşullarından etkilenmeyen bir tavşan çiftliğinde her tavşan çifti her ay yeni bir çift tavşan doğurmakta ve yeni doğan tavşan çifti de kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlamaktadır. Buna göre başlangıçta bir çift tavşanın bulunduğu bu tavşan çiftliğinde kaç ay sonra kaç çift tavşan yer alır?

Benzer Yazılar

Yorumlar

Yorum Yazın

Şu elementleri kullanabilirsiniz : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

Arama
RSS
Beni yukari isinla